Phương trình vi phân ngẫu nhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên từ lâu đã được biết có nhiều ứng dụng trong phân tích tài chính thông qua một số mô hình như: Mô hình Bachelier, Mô hình Black - Scholes, Mô hình Ornstein - Uhlenbeck, Mô hình căn bậc hai Feller hay Mô hình Cox - Ingersoll - Ross… (Bishwal, 2008). Các mô hình của phương trình vi phân ngẫu nhiên có thể áp dụng cho dữ liệu một chiều (Bishwal, 2008), (Gontis, V., Havlin, S., Kononovicius, A., Podobnik, B. & Stanley, H. E., 2016) cũng như trường hợp dữ liệu nhiều chiều (Bibby, B. M. & Sørensen, M., 2001), (Andersson, P. & Kohatsu-Higa, A., 2017)…

Dữ liệu của phương trình vi phân ngẫu nhiên được sử dụng bao gồm cả giá quyền chọn, đặc biệt là công thức Black - Scholes và giá chứng khoán thực (Bibby, 1996), (Rydberg, 1999). Nghiên cứu này sử dụng giá chứng khoán thực để nghiên cứu các phương trình vi phân ngẫu nhiên.

Trong phương trình vi phân ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên hay được sử dụng là quá trình Wiener - quá trình ngẫu nhiên mà trong đó các sai lệch được xấp xỉ thông qua phân phối chuẩn. Thực tiễn, khi áp dụng quá trình Wiener vào giá chứng khoán thực sẽ xuất hiện những khó khăn sau:

Thứ nhất, giá chứng khoán không xấp xỉ phân phối chuẩn.

Thứ hai, giá chứng khoán khi dự báo phải nhận giá trị không âm.

Để khắc phục tình trạng này, một số nhà nghiên cứu có hiệu chỉnh cho quá trình Wiener thành quá trình Wiener mũ hay quá trình Wiener hình học; tức là giá chứng khoán xấp xỉ phân phối loga chuẩn (log normal distribution). Tuy nhiên, giá chứng khoán khi xấp xỉ bằng phân phối loga chuẩn không mô tả được hết các hiện tượng thay đổi giá đột biến, như tăng quá cao hoặc giảm quá mạnh, tức là giá chứng khoán không xấp xỉ phân phối chuẩn hay loga chuẩn nữa.

Để mở rộng hơn, Mariani đã đề cập trong nghiên cứu của họ (Mariani, M. C. & Tweneboah, O. K., 2016) khi hiệu chỉnh quá trình Wiener bằng quá trình Lévy, cụ thể là quá trình Gamma và kết quả cho thấy, tính hiệu quả trong phân tích giá chứng khoán. Đây được xem là bước chuyển giữa phương trình vi phân ngẫu nhiên thông thường sang phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy.

Chính vì vậy, một hướng nghiên cứu khác trong việc mô hình giá chứng khoán được đề cập là phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy (Tankov, 2003), (Kyprianou, 2006)… Trong bài viết, nhóm tác giả phân tích bộ giá chứng khoán Việt Nam và số liệu chứng tỏ tính cần thiết của mô hình phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy.

Thực tế nghiên cứu

Thông qua việc trao đổi về phương trình vi phân ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan, nghiên cứu này tiếp tục trao đổi về: Mô hình tài chính dựa trên quá trình Wiener, Mô hình tài chính có bước nhảy, đồng thời đưa ra các khuyến nghị tại Việt Nam.

Mô hình tài chính dựa trên quá trình Wiener

Mô hình tài chính dựa trên quá trình Wiener hay chuyển động Brown hay bước ngẫu nhiên.

Về quá trình Wiener:

Theo Roberts (2009), quá trình Wiener, thường được ký hiệu là W(t) thỏa mãn các tính chất sau (định nghĩa 1):

W(t)  là liên tục;

W(0)=0;

Sai lệch W(t+s)-W(s)~ N(0,t), với t,s≥0;

W(t+s)-W(s) là độc lập với quá trình tại bất cứ thời điểm nào trước s.

Mô hình tài chính dựa trên quá trình Wiener:

Theo Bishwal (2008), một số mô hình biểu diễn các tham số chưa biết được xem như phương trình vi phân ngẫu nhiên được biểu diễn thông qua quá trình Wiener:

dX_t=µ(θ,t,X_t )dt+σ (ν,t,X_t )dW_t,t≥0,X_0=ξ,(1)

trong đó: {W_t,t≥0} là quá trình Wiener tiêu chuẩn,

µ:Θ×[0,T]× được gọi là hệ số dịch chuyển, là trung bình tức thời của quá trình.

σ: được gọi là hệ số biến động, là độ lệch chuẩn tức thời của quá trình.

Các tham số chưa biết θ,ν,Θ và E(ξ)<∞.

Trong trường hợp đơn giản nhất, các hệ số là hằng số, chúng ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn giá của tài sản S dạng tuyến tính với các hệ số hằng như sau:

       dS=µ dt+σ dW_t,         (2)

Trong đó: µ là hệ số dịch chuyển (the drift), σ là hệ số biến động (the volatility) và W là quá trình Wiener, theo (Roberts, 2009).

Khi giá chứng khoán biểu diễn dưới dạng (2) thì gặp phải một số vấn đề như sau:

Thứ nhất, giá chứng khoán có thể nhận giá trị âm, giả sử khoảng cách giữa hai thời điểm liên tục cách nhau bằng 1, tức là Δt=1, suy ra:

       S_(t+1)=S_t+µ Δt+σ ΔW           (3)

Do phụ thuộc vào giá trị của quá trình Wiener, nên hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp ΔW<0, trong khi hệ số σ dương, suy ra S_(t+1) có thể nhận giá trị âm. Giá chứng khoán nhận giá trị âm là điều không thể xảy ra.

Thứ hai, khi đánh giá lợi nhuận của đầu tư, nhà đầu tư thường quan tâm đến phần trăm lợi nhuận dựa trên số vốn ban đầu thay vì giá trị tuyệt đối lợi nhuận.

Do đó, chúng ta cần một phương trình biểu diễn dưới dạng giá trị tương đối của suất sinh lợi thông qua quá trình Wiener mũ hay hình học (geometric Brownian motion, exponential Brownian motion).

Mô hình tài chính dựa trên quá trình Wiener mũ:

Mô hình biểu diễn giá chứng khoán thông qua quá trình Wiener mũ:

dS=αS dt+βS dW,    (4)

Trong đó: Hệ số dịch chuyển (còn gọi là hệ số dịch chuyển chứng khoán) µ=αS và hệ số biến động (còn gọi là hệ số biến động chứng khoán) σ=βS, xem (Roberts, 2009).

Khi đó, giá chứng khoán tại thời điểm t_n sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn hoặc loga chuẩn (log normal distribution):

S_n=S_0  e^[α t_n+β W_n ] , khi t_0=W_0=0.           (5)

Hay biểu diễn dưới dạng quá trình I-tô:

S_n=S_0  e^[(α-1/2 β^2 )  t_n+β W_n ], khi t_0=W_0=0.       (6)

Ngoài ra, để đa dạng các ước lượng dạng phân phối với dữ liệu nhận các giá trị dương và không đối xứng (lệch) thông qua quá trình gamma, xem (Mariani, M. C. & Tweneboah, O. K. , 2016). Phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn giá chứng khoán thông qua quá trình Lévy, với mô hình Ornstein – Uhlenbeck, như là bước chuyển giữa mô hình không có bước nhảy với mô hình có bước nhảy, với sự thay đổi phân phối xác suất trong phần biến động:

dX_t=-λ X_t  dt+dZ_λt,λ                             (7)

Trong đó: Z={Z(λt),t≥0} là quá trình Lévy, cụ thể là quá trình gamma có hàm mật độ Lévy.

Trong khi đó, theo nghiên cứu của Mariani, M. C. & Tweneboah, O. K. (2016), một quá trình ngẫu nhiên X={X_t,t≥0 } với tham số a và b là một quá trình Gamma nếu thỏa mãn các tính chất sau (định nghĩa 2):

X_0=0;

Quá trình có số gia độc lập;

Quá trình có số gia dừng;

Với thời gian s<t thì biến ngẫu nhiên X_t-X_s là phân phối Gamma Γ(a(t-s),b ), tương ứng trung bình a(t-s)/b, phương sai a(t-s)/b^2  và độ lệch Skewness 2√(a(t-s)), độ nhọn Kurtosis 3(1+2/a(t-s) ).

Mô hình tài chính với bước nhảy

Mô hình tài chính với bước nhảy:

Phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn giá chứng khoán với bước nhảy

       dS=µ dt+σ dW_t+ρ dM_t,        (8)

trong đó: các hằng số µ,σ,ρ là các hệ số dịch chuyển, hệ số biến động và hệ số nhảy của giá chứng khoán trong trường hợp giá chứng khoán dưới dạng tỷ lệ.

Quá trình W_t là quá trình Wiener.

Quá trình M_t là một quá trình ngẫu nhiên phù hợp.

Một số mô hình tài chính với bước nhảy thông thường

Phương trình vi phân ngẫu nhiên biểu diễn giá chứng khoán S với bước nhảy theo quá trình Poisson, xem (Calin, 2012):

dS=µ S dt+σ S dW_t+ρ S dM_t,       (9)

Trong đó: Quá trình M_t=N_t-λt là quá trình Poisson, hằng số λ>0 biểu thị tỷ lệ của các biến cố trong thị trường.

Các khó khăn trong tính toán khi thay mô hình không có bước nhảy sang mô hình có bước nhảy như sau:

- Thứ nhất, về trung bình: Trung bình của tổng bằng tổng các trung bình. Do đó, về cơ bản thì trung bình không có trở ngại trong tính toán, cho chỉ liên quan đến phần dịch chuyển µ S dt và bước nhảy ρ S dM_t.

- Thứ hai, về phương sai: Phương sai của tổng bằng tổng các phương sai chỉ trong trường hợp các biến ngẫu nhiên biến động σ S dW_t và bước nhảy ρ S dM_t độc lập, do vậy trong trường hợp phụ thuộc thì việc tính toán sẽ khá khó khăn.

- Thứ ba, về độ lệch Skewness: Độ lệch của tổng không bằng tổng các độ lệch, nên các tính toán sau đó khá phức tạp.

- Thứ tư, về độ nhọn Kutorsis: Cũng có khó khăn giống độ nhọn, tức là độ nhọn của tổng không bằng tổng các độ nhọn, các tính toán khá phức tạp.

Các khuyến nghị tại Việt Nam

Theo Bibby (1996), Rydberg  (1999), do phương trình vi phân ngẫu nhiên có thể biểu diễn cho giá chứng khoán thực, nên nghiên cứu này áp dụng vào bộ giá chứng khoán Việt Nam, trong một khoảng thời gian đủ dài để thấy được hết các biến động của giá chứng khoán, cũng như không quá nhiều mã chứng khoán để có thể tìm hiểu chi tiết từng quan sát.

Nghiên cứu này lựa chọn trong khoảng thời gian từ khi bắt đầu lên sàn (trong khoảng năm 2000 và 2001) đến ngày 29/12/2017 (tức là hết năm 2017) thì có 6 mã chứng khoán như sau: BBC (Công ty Cổ phần Bibica), HAP (Công ty Cổ phần Tập đoàn Hapaco), LAF (Công ty Cổ phần Chế biến Hàng xuất khẩu Long An), REE (Công ty Cổ phần Cơ điện lạnh), SAM (Công ty Cổ phần SAM Holdings), TMS (Công ty Cổ phần Transimex).

Nghiên cứu cũng tính toán các độ lệch và độ nhọn của các bộ dữ liệu gốc dX_t=X_(t+1)-X_t cũng như dữ liệu đã hiệu chỉnh dX_t=(X_(t+1)-X_t)/X_t  và không có bộ dữ liệu nào có thể thỏa mãn xấp xỉ phân phối chuẩn, tức là độ lệch Skewness bằng 0 và độ nhọn Kurtosis bằng 3.

Ngoài ra, có thể nhận thấy dữ liệu đã hiệu chỉnh cải thiện được độ lệch Skewness trong các trường hợp dữ liệu lệch nhiều, còn các trường hợp độ lệch ít thì hầu như không thay đổi được thậm chí còn tăng lên. Tương tự như vậy, độ nhọn Kurtosis cũng có cải thiện trong các trường hợp dữ liệu nhọn nhiều.

Thêm vào đó, trong tất cả các trường hợp ở trên, đối với các mã chứng khoán nghiên cứu ở đây, chúng ta tính toán theo phân phối Gamma thì thấy hệ số a(t-s) trong định nghĩa 2 theo hai cách dựa vào độ lệch Skewness a(t-s)=(2/Skewness)^2 và độ nhọn Kurtosis a(t-s)=2/(Kurtosis/3-1)  ra kết quả hoàn toàn khác nhau. Do đó, bộ dữ liệu giá chứng khoán Việt Nam cũng không phù hợp với quá trình Gamma.

Thông qua các phân tích giá chứng khoán thực, có thể nhận thấy, phương trình vi phân ngẫu nhiên dựa trên quá trình Wiener và quá trình Gamma là không phù hợp. Điều đó đòi hỏi cần nghiên cứu phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy trong phân tích giá chứng khoản ở Việt Nam.

Kết luận

Phương trình vi phân ngẫu nhiên đã chứng tỏ vai trò của mình trong phân tích giá chứng khoán thông qua một số mô hình nổi tiếng như mô hình Black – Scholes, mô hình Ornstein – Uhlenbeck… Tuy nhiên, trong điều kiện khoa học công nghệ ngày càng phát triển, các công cụ tính toán ngày càng đa dạng và chính xác, các phương trình vi phân ngẫu nhiên nghiên cứu chỉ dựa trên một số phân phối xác suất đơn giản như phân phối chuẩn, phân phối loga chuẩn, phân phối gamma… không còn phù hợp.

Thông qua kết quả phân tích thực tiễn giá chứng khoán Việt Nam, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải sử dụng phương trình vi phân ngẫu nhiên có bước nhảy.

(*) Nghiên cứu này được tài trợ bởi Trường Đại học Kinh tế - Luật, Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh thông qua Đề tài với mã số NV/2017-01.                       

1. Andersson, P. & Kohatsu-Higa, A. . (2017). Unbiased simulation of stochastic differential equations using parametrix expansions. Bernoulli, 23(3) , 2028-2057;

2. Bibby, B. M. & Sørensen, M. (2001). Simplified Estimating Functions for Diffusion Models with a High‐dimensional Parameter. Scandinavian Journal of Statistics, 28(1), 99-112;

3. Bibby, B. M. (1996). A hyperbolic diffusion model for stock prices. Finance and Stochastics, 1(1), 25-41;

4. Bishwal, J. P. (2008). Parameter estimation in stochastic differential equations (Vol. 1923). Berlin: Springer;

5. Calin, O. (2012). An Introduction to Stochastic Calculus with Applications to Finance. Ann Arbor;

6. Gontis, V., Havlin, S., Kononovicius, A., Podobnik, B. & Stanley, H. E. . (2016). Stochastic model of financial markets reproducing scaling and memory in volatility return intervals. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 462 , 1091-1102;

7. Kyprianou, A. E. (2006). Introductory lectures on fluctuations of Lévy processes with applications. Springer Science & Business Media;

8. Mariani, M. C. & Tweneboah, O. K. . (2016). Stochastic differential equations applied to the study of geophysical and financial time series. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 443, 170-178;

9. Roberts, A. J. (2009). Elementary calculus of financial mathematics (Vol. 15). SIAM;

10. Rydberg, T. H. (1999). Generalized hyperbolic diffusion processes with applications in finance. Mathematical Finance, 9(2), 183-201;

11. Tankov, P. (2003). Financial modelling with jump processes (Vol. 2). CRC press.